Definición:Preludio : Un vector , como se define a continuaci贸n , es una estructura matem谩tica espec铆fica . Tiene numerosas aplicaciones f铆sicas y geom茅tricas , que dan como resultado principalmente de su capacidad para representar la magnitud y la direcci贸n al mismo tiempo. Del viento , por ejemplo , ten铆a tanto una velocidad y una direcci贸n y , por lo tanto , est谩 convenientemente expresada como un vector . Lo mismo puede decirse de los objetos en movimiento y las fuerzas . La ubicaci贸n de un puntos en un plano de coordenadas cartesianas se expresa generalmente como un par ordenado ( x, y ) , que es un ejemplo espec铆fico de un vector . Siendo un vector , ( x, y ) tiene aa cierta distancia ( magnitud ) desde y 谩ngulo ( direcci贸n ) en relaci贸n con el origen ( 0 , 0 ) . Los vectores son muy 煤tiles en la simplificaci贸n de los problemas de geometr铆a tridimensional .
Definici贸n : " . N煤mero real " Un escalar , hablando en general , es otro nombre para
Definici贸n: Un vector de dimensi贸n n es una colecci贸n ordenada de n elementos , que se denominan componentes.
Notaci贸n: A menudo nos representamos un vector por alguna carta , al igual que nosotros utilizamos una letra para denotar un escalar (n煤mero real) en 谩lgebra. En la obra escrita a m谩quina , un vector se suele administrar una carta atrevida , como A, para distinguirla de una cantidad escalar , como A. En un trabajo escrito a mano , escribir letras en negrita es dif铆cil, as铆 que por lo general s贸lo tiene que colocar una flecha de la mano derecha sobre la letra para denotar un vector. Un vector n-dimensional A tiene n elementos denotados como A1 , A2 , ..., An . Simb贸licamente , esto puede escribirse en m煤ltiples formas :
A =
A = ( A1 , A2 , ... , An)
Ejemplo : ( 2 , -5 ) , ( -1 , 0 , 2 ) , ( 4,5 ) , y ( PI , a, b , 2/3 ) , son ejemplos de vectores de dimensi贸n 2 , 3 , 1 , y 4 , respectivamente . El primer vector tiene componentes 2 y -5 .
Nota : Como alternativa, una colecci贸n de " desordenada " de los n elementos { A1 , A2 , ..., An} se llama un "set ".
Definici贸n: Dos vectores son iguales si sus componentes correspondientes son iguales .
Ejemplo : Si A = ( -2 , 1 ) y B = ( -2 , 1 ) , entonces A = B desde -2 = -2 y 1 = 1 . Sin embargo , ( 5 , 3 ) NOT_EQUAL ( 3 , 5 ) , porque a pesar de que tienen los mismos componentes , 3 y 5 , el componente no se producen en el mismo orden . Esto contrasta con los sistemas , donde { 5 , 3 } = { 3 , 5 } .
Definici贸n : La magnitud de un vector A de dimensi贸n n , denotado | A | , se define como
| A | = sqrt (A1 + A2 ^ 2 ^ 2 + ... + An ^ 2 )
Geom茅tricamente hablando, la magnitud es sin贸nimo de "largo ", "distancia" o "velocidad" . En el caso de dos dimensiones , el punto representado por el vector A = ( A1 , A2 ) tiene una distancia desde el origen ( 0 , 0 ) de sqrt ( A1 + A2 ^ 2 ^ 2 ) de acuerdo con el teorema de Pit谩goras . En el caso de tres dimensiones , el punto representado por el vector A = ( A1 , A2 , A3 ) tiene una distancia desde el origen de sqrt ( A1 ^ 2 + A2 + A3 ^ 2 ^ 2 ) de acuerdo con la forma tridimensional del teorema de Pit谩goras ( una caja con lados a, b , c y tiene una longitud diagonal de sqrt ( a2 + b2 + c2 ) ) . Con vectores de dimensi贸n n mayor que tres , nuestra intuici贸n geom茅trica falla, pero la definici贸n algebraica permanece .
Definici贸n : La suma de dos vectores A = ( A1 , A2 , ... , An) y B = ( B1 , B2 , ... , Bn ) se define como
A + B = ( A1 + B1 , A2 + B2 , ... , Bn Una + )
Nota : La adici贸n de vectores s贸lo est谩 definido si ambos vectores tienen la misma dimensi贸n .
Ejemplo :
( 2 , -3 ) + ( 0 , 1 ) = ( 2 0 , -3 1 ) = ( 2 , -2 ) .
( 0,1 , 2 ) + ( -1 , PI ) = ( 0,1 + -1 , 2 + PI ) = ( -0,9 , 2 + PI )
Justificaci贸n : aplicaciones f铆sicas y geom茅tricas justifican tal definici贸n. SI hay un tren del Este a 5 metros / segundo en relaci贸n con el suelo , que se denota en notaci贸n vectorial como VT = ( 0 , 5 ) , y una persona en el tren camina Sur a 1 metro / segundo en relaci贸n con el tren, que se denota como VP = ( -1 , 0 ) , entonces la direcci贸n y la velocidad que la persona est谩 viajando con respecto al suelo se representa por el vector VG = VT + VP = ( 0 , 5 ) + ( -1 , 0 ) = ( -1 + 0 , 5 + 0 ) = ( -1 , 5 ) . Este vector tiene una magnitud de | VG | = sqrt ( ( -1 ) ^ 2 + 5 ^ 2 ) = sqrt ( 6 ) = 2,449 ... , lo que significa que la persona est谩 viajando en alrededor de 2.449 metros / segundo en relaci贸n con el suelo y la direcci贸n de red es sobre todo del este , pero ligeramente Sur.
Definici贸n : El producto escalar de un escalar k por un vector A = ( A1 , A2 , ... , An) se define como
kA = ( KA1 , kA2 , ..., Kan )
Ejemplo :
2 ( 5 , -4 ) = ( 2 * 5 , 2 * -4 ) = ( 10 , -8 )
-3 ( 1 , 2 ) = ( -3 * 1 , * 2 -3 ) = ( -3 , -6 )
0 ( 3 , 1 ) = ( 0 * 3 , 0 * 1 ) = ( 0 , 0 )
1 ( 2 , 3 ) = ( 1 * 2 , * 3 1 ) = ( 2 , 3 )
Nota : En general , 0A = ( 0 , 0 , ... , 0 ) y 1A = A, al igual que en el 谩lgebra de escalares . El vector de cualquier dimensi贸n n con todos los elementos cero ( 0 , 0 , ... , 0 ) es llamado el vector de cero y se denota 0 .
Otra definición de Vector :
Definición: Un vector es una cantidad matem谩tica que tiene una magnitud y direcci贸n. A menudo se representa en forma variable en negrita con una flecha por encima de ella. Muchas cantidades de la f铆sica son cantidades vectoriales.
Un vector unitario es un vector con una magnitud de 1 y a menudo se denota en negrita con un quilate (^) por encima de la variable.
