Definición de Vector

Preludio : Un vector , como se define a continuación , es una estructura matemática específica . Tiene numerosas aplicaciones físicas y geométricas , que dan como resultado principalmente de su capacidad para representar la magnitud y la dirección al mismo tiempo. Del viento , por ejemplo , tenía tanto una velocidad y una dirección y , por lo tanto , está convenientemente expresada como un vector . Lo mismo puede decirse de los objetos en movimiento y las fuerzas . La ubicación de un puntos en un plano de coordenadas cartesianas se expresa generalmente como un par ordenado ( x, y ) , que es un ejemplo específico de un vector . Siendo un vector , ( x, y ) tiene aa cierta distancia ( magnitud ) desde y ángulo ( dirección ) en relación con el origen ( 0 , 0 ) . Los vectores son muy útiles en la simplificación de los problemas de geometría tridimensional .

Definición : " . Número real " Un escalar , hablando en general , es otro nombre para

Definición: Un vector de dimensión n es una colección ordenada de n elementos , que se denominan componentes.

Notación: A menudo nos representamos un vector por alguna carta , al igual que nosotros utilizamos una letra para denotar un escalar (número real) en álgebra. En la obra escrita a máquina , un vector se suele administrar una carta atrevida , como A, para distinguirla de una cantidad escalar , como A. En un trabajo escrito a mano , escribir letras en negrita es difícil, así que por lo general sólo tiene que colocar una flecha de la mano derecha sobre la letra para denotar un vector. Un vector n-dimensional A tiene n elementos denotados como A1 , A2 , ..., An . Simbólicamente , esto puede escribirse en múltiples formas :

A = <a1, A2, ..., An>
A = ( A1 , A2 , ... , An)

Ejemplo : ( 2 , -5 ) , ( -1 , 0 , 2 ) , ( 4,5 ) , y ( PI , a, b &#8203;&#8203;, 2/3 ) , son ejemplos de vectores de dimensión 2 , 3 , 1 , y 4 , respectivamente . El primer vector tiene componentes 2 y -5 .

Nota : Como alternativa, una colección de " desordenada " de los n elementos { A1 , A2 , ..., An} se llama un "set ".

Definición: Dos vectores son iguales si sus componentes correspondientes son iguales .

Ejemplo : Si A = ( -2 , 1 ) y B = ( -2 , 1 ) , entonces A = B desde -2 = -2 y 1 = 1 . Sin embargo , ( 5 , 3 ) NOT_EQUAL ( 3 , 5 ) , porque a pesar de que tienen los mismos componentes , 3 y 5 , el componente no se producen en el mismo orden . Esto contrasta con los sistemas , donde { 5 , 3 } = { 3 , 5 } .

Definición : La magnitud de un vector A de dimensión n , denotado | A | , se define como

| A | = sqrt (A1 + A2 ^ 2 ^ 2 + ... + An ^ 2 )

Geométricamente hablando, la magnitud es sinónimo de "largo ", "distancia" o "velocidad" . En el caso de dos dimensiones , el punto representado por el vector A = ( A1 , A2 ) tiene una distancia desde el origen ( 0 , 0 ) de sqrt ( A1 + A2 ^ 2 ^ 2 ) de acuerdo con el teorema de Pitágoras . En el caso de tres dimensiones , el punto representado por el vector A = ( A1 , A2 , A3 ) tiene una distancia desde el origen de sqrt ( A1 ^ 2 + A2 + A3 ^ 2 ^ 2 ) de acuerdo con la forma tridimensional del teorema de Pitágoras ( una caja con lados a, b &#8203;&#8203;, c y tiene una longitud diagonal de sqrt ( a2 + b2 + c2 ) ) . Con vectores de dimensión n mayor que tres , nuestra intuición geométrica falla, pero la definición algebraica permanece .

Definición : La suma de dos vectores A = ( A1 , A2 , ... , An) y B = ( B1 , B2 , ... , Bn ) se define como

A + B = ( A1 + B1 , A2 + B2 , ... , Bn Una + )

Nota : La adición de vectores sólo está definido si ambos vectores tienen la misma dimensión .